Madhyamik Mathematics Suggestion – দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surds) Chapter 9 Question Answer
Quadratic Surds বা দ্বিঘাত করণী Madhyamik Mathematics-এর একটি গুরুত্বপূর্ণ algebraic topic। এই অধ্যায়ে surd-এর পরিচয়, করণী নিরসক উৎপাদক, অনুবন্ধী করণী, denominator rationalisation, surd-এর সরলীকরণ এবং বিভিন্ন algebraic expression-এর simplest value নির্ণয়ের প্রশ্ন দেখা যায়।
এই Chapter 9 revision section-এ source page-এর question pattern অনুসরণ করে MCQ, True or False, Short Answer এবং Long Answer অংশগুলি সাজানো হয়েছে। প্রতিটি calculation-এ rationalisation এবং algebraic identity-এর ব্যবহার বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ।
Quadratic Surds: Basic Concepts
যে expression-এ irrational square root বা surd থাকে এবং যাকে মূলদ সংখ্যা ও করণীর সাহায্যে প্রকাশ করা যায়, সেই ধরনের expression নিয়ে এই chapter-এ কাজ করা হয়। বিশেষ করে denominator-এর surd দূর করার জন্য rationalisation ব্যবহার করা হয়।
(a + b)(a - b) = a² - b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
Conjugate Surd
কোনো mixed quadratic surd-এর ক্ষেত্রে এমন surd যার সঙ্গে যোগ বা গুণ করলে প্রয়োজনীয় expression মূলদ রূপে পাওয়া যায়, তাকে তার conjugate surd বা অনুবন্ধী করণী হিসেবে ব্যবহার করা হয়।
উদাহরণ: 2 + √3-এর conjugate হলো 2 - √3.
(2 + √3)(2 - √3) = 4 - 3 = 1
অতএব product একটি rational number.
MCQ – Multiple Choice Questions
Question 1
যদি x = 2 + √3 হয়, তবে (x + 1/x)-এর মান কত?
- (a) 2
- (b) 2√3
- (c) 4
- (d) 2 - √3
কারণ,
1/x = 1/(2 + √3) = 2 - √3.
সুতরাং x + 1/x = 2 + √3 + 2 - √3 = 4.
Question 2
Source page-এ দ্বিতীয় MCQ-টি image format-এ দেওয়া হয়েছে এবং সেখানে একটি quadratic surd-এর করণী নিরসক উৎপাদক সম্পর্কিত প্রশ্ন রয়েছে।
Question 3
Source-এর তৃতীয় MCQ-টিও image-based এবং √5 ও √3-জাতীয় surd expression-এর relationship নিয়ে দেওয়া হয়েছে।
Question 4
যদি x = 2 - √3 হয়, তবে x + 1/x-এর মান নির্ণয় করো।
- (a) √5
- (b) 4
- (c) 3√10
- (d) 2
কারণ,
1/(2 - √3) = 2 + √3.
অতএব,
x + 1/x = (2 - √3) + (2 + √3) = 4.
True or False
1. দুটি অমূলদ সংখ্যার যোগফল মূলদ সংখ্যা হতে পারে।
2. ⁷√5 একটি শুদ্ধ করণী।
3. 31/2 এবং √7 হল অসমসদৃশ করণী।
4. দুটি দ্বিঘাত করণীর যোগফল ও গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা হলে করণীদ্বয় পরস্পরের অনুবন্ধী হয়।
5. দুটি দ্বিঘাত করণীর যোগফল একটি দ্বিঘাত করণী।
6. √14 এবং √28 হল দুটি সদৃশ করণী।
7. ∛4 এবং ∛3 হল সদৃশ করণী।
Short Answer Questions
1. Simplify the Following Expressions
(i) (√5 + 2)/(√3 - 1)
Denominator rationalise করতে numerator ও denominator-কে (√3 + 1) দিয়ে গুণ করি।
(√5 + 2)/(√3 - 1)
= (√5 + 2)(√3 + 1) / ((√3 - 1)(√3 + 1))
= (√15 + √5 + 2√3 + 2)/(3 - 1)
= (√15 + √5 + 2√3 + 2)/2.
(ii) (√5 + √3)/(√3 - √5)
Denominator-এর conjugate ব্যবহার করি।
(√5 + √3)/(√3 - √5)
= (√5 + √3)(√3 + √5) / ((√3 - √5)(√3 + √5))
= (8 + 2√15)/(3 - 5)
= -(4 + √15).
2. Given Values of x and y
Source-এর দ্বিতীয় short-answer problem-এ x + y এবং x - y-এর quadratic surd values ব্যবহার করে একটি algebraic expression-এর মান নির্ণয় করতে বলা হয়েছে। Source solution-এ identity ব্যবহার করে expression-টির মান 5 পাওয়া হয়েছে।
(x + y)² - (x - y)² = 4xy
(x + y)² + (x - y)² = 2(x² + y²)
এই ধরনের প্রশ্নে প্রথমে দেওয়া x + y এবং x - y-এর সাহায্যে প্রয়োজনীয় xy ও x² + y² নির্ণয় করে তারপর required expression-এ বসাতে হয়।
3. Simplification Using Surd Identities
Source-এর তৃতীয় short-answer problem-এ একটি expression-এর simplest value নির্ণয় করতে বলা হয়েছে, যেখানে √3 এবং 1/√3 ধরনের পদ রয়েছে।
√3 + 1/√3 + √3 - 1/√3
= 2√3.
একইভাবে numerator ও denominator-এ surd থাকলে conjugate ব্যবহার করে rationalisation করতে হবে।
4. Rationalisation of Denominators
Source-এর চতুর্থ short-answer problem:
1/(√2 + 1) + 1/(√3 + √2) + 1/(√4 + √3)
প্রতিটি denominator-এর conjugate ব্যবহার করি।
1/(√2 + 1) = √2 - 1
1/(√3 + √2) = √3 - √2
1/(√4 + √3) = √4 - √3 = 2 - √3
তাই,
(√2 - 1) + (√3 - √2) + (2 - √3)
= 1.
5. Expression Involving x and y
যদি (x + y) : √xy = 4 : 1 হয়, তবে x এবং y-এর মধ্যে প্রদত্ত relationship ব্যবহার করে required expression নির্ণয় করতে হবে।
Source solution অনুযায়ী এই problem-এ square identity ব্যবহার করে শেষ পর্যন্ত:
(x + y)² = 4xy-জাতীয় relation থেকে required expression নির্ণয় করা হয়।
Source-এর final result: 16.
Long Answer Questions
Source page-এর long-answer section-এ একাধিক image-based descriptive problem দেওয়া হয়েছে। নিচে source images থেকে পাঠযোগ্য expressions এবং তাদের solution structure সাজানো হলো।
1. Simplification of Surd Expressions
Source-এর প্রথম long-answer problem-এ একাধিক rationalisation-based surd expression simplify করতে বলা হয়েছে। প্রধান technique হলো প্রতিটি denominator-এর conjugate দিয়ে গুণ করা এবং তারপর like surds combine করা।
1/(√a + √b) = (√a - √b)/(a - b)
এই rule ব্যবহার করে source-এর expressionগুলিকে rational denominator-এ নামিয়ে এনে শেষে like surds একত্রিত করা হয়েছে। Source solution-এর final simplification-এ √35 - √10-জাতীয় result পাওয়া যায়।
2. Proving an Algebraic Identity with Surds
Source-এর দ্বিতীয় long-answer problem-এ x এবং y-এর relation দেওয়া আছে এবং একটি algebraic expression-এর value প্রমাণ করতে বলা হয়েছে। এখানে মূলত:
(x + y)² - (x - y)² = 4xy
(x + y)² + (x - y)² = 2(x² + y²)
এই দুই identity ব্যবহার করে expression-কে সহজ form-এ নামিয়ে আনা হয়। Source solution-এ rationalisation-এর পর final numerical value পাওয়া হয়েছে।
3. Nested Surd Simplification
Source-এর তৃতীয় long-answer problem-এ একটি nested surd expression দেওয়া হয়েছে:
√(6 + 2√3 + 2√2 + 2√6)
এ ধরনের expression-এর ক্ষেত্রে square expansion ব্যবহার করে expression-টিকে দুটি simpler surd-এর square হিসেবে প্রকাশ করতে হয়।
Source solution অনুযায়ী expression-টি একটি perfect-square form-এ রূপান্তরিত হয় এবং শেষে simplest value পাওয়া যায়:
1 + √2 + √3.
4. Algebraic Expression Using a and b
Source-এর চতুর্থ long-answer problem-এ দেওয়া হয়েছে:
a = (√5 + 1)/(√5 - 1)
b = (√5 - 1)/(√5 + 1)
এবং (a² + ab + b²)/(a² - ab + b²)-এর মান নির্ণয় করতে বলা হয়েছে।
প্রথমে,
a + b = 3
এবং
ab = 1.
এখন,
(a² + ab + b²)/(a² - ab + b²)
= ((a + b)² - ab)/((a + b)² - 3ab)
= (9 - 1)/(9 - 3)
= 8/6
= 4/3.
5. Proving a Result from Surd-Based Variables
Source-এর আরেকটি descriptive problem-এ x ও y-এর relationship দেওয়া হয়েছে এবং xy = 1 ব্যবহার করে একটি rational expression-এর মান নির্ণয় করতে বলা হয়েছে।
যদি xy = 1 হয়, তাহলে:
x² + xy + y² = (x + y)² - xy
এবং
x² - xy + y² = (x + y)² - 3xy.
Source solution-এ x + y = 5 এবং xy = 1 বসিয়ে:
(25 - 1)/(25 - 3)
= 24/22
= 12/11.
Important Surd Identities for Chapter 9
| Identity | Use |
|---|---|
| (a + b)² = a² + 2ab + b² | Square expansion |
| (a - b)² = a² - 2ab + b² | Difference of terms |
| (a + b)(a - b) = a² - b² | Rationalisation |
| (x + y)² - (x - y)² = 4xy | Finding xy |
| (x + y)² + (x - y)² = 2(x² + y²) | Finding x² + y² |
| a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) | Cubic surd expressions |
| a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b) | Cubic surd expressions |
Conjugate Surd and Rationalisation
Mixed Surd
Example: 2 + √3
Conjugate: 2 - √3
Two Surds
Example: √5 + √3
Useful conjugate: √5 - √3
Denominator
For 1/(√a + √b), multiply by √a - √b.
Final Check
After rationalisation, combine only like surds.
Chapter 9 Revision Checklist
- Understand the meaning of quadratic surds.
- Learn the difference between like and unlike surds.
- Practise conjugate surds regularly.
- Practise rationalising denominators.
- Memorise the important algebraic identities.
- Practise expressions involving x + 1/x and x - 1/x.
- Practise expressions involving x + y and x - y.
- Check every final answer by simplifying the surds completely.
Useful Cademy Mathematics Resources
For broader WBBSE Class 10 preparation, Cademy-এর Madhyamik resources-এর সঙ্গে Chapter 9-এর এই practice set ব্যবহার করা যেতে পারে। Cademy-এর current Madhyamik Suggestion 2027 resource-এ Mathematics-সহ subject-wise suggestion resources listed আছে।
Explore Mathematics and other subject-wise suggestion resources → WBBSE Class 10 Madhyamik 2027 Guide
Explore syllabus, preparation and revision resources →
Chapter 9 Summary
দ্বিঘাত করণী chapter-এর মূল focus হলো surd expressions-কে সহজ form-এ নিয়ে আসা। Rationalisation, conjugate surd এবং algebraic identities এই chapter-এর সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ tools।
বিশেষ করে x + 1/x, x - 1/x, x + y, x - y, xy এবং nested surd-এর problems নিয়মিত practise করলে chapter-এর calculation-based questions অনেক সহজ হয়ে যায়।